Transformaciones simples de formas bidimensionales

Ver también: Propiedades de los polígonos

Las formas planas en dos dimensiones (dibujadas en una hoja de papel plana, por ejemplo) tienen propiedades medibles además de sus medidas físicas de longitudes laterales, ángulos internos y área. Pueden sufrir transformaciones , mediante el cual pueden cambiar la posición o el tamaño, o la 'relación de aspecto' (qué tan altos y delgados o cortos y anchos son).

Esta página explora congruencia, simetría, reflexión, traslación y rotación . Estos conceptos tratan sobre cómo una forma posición cambios, relativos a una referencia, como una línea o un punto.

Nos enfrentamos a estas ideas con regularidad en la vida cotidiana, en todo, desde el diseño de productos, la arquitectura y la ingeniería, hasta sucesos en el mundo natural. Incluso combinar el patrón en un rollo de papel tapiz implica estas ideas geométricas.




Congruencia

Las matemáticas están llenas de terminología compleja, pero a veces un término complicado puede significar algo realmente simple. Esto es cierto para la congruencia.

Dos formas que son congruente tener el mismo tamaño y el Misma forma . ¡Es tan simple como eso!

En el diagrama siguiente, las formas A , B , C y D son todos congruentes. Las formas E, F, G y H no son congruentes.

Congruencia

Las formas pueden ser congruentes incluso si se han rotado o reflejado.


Tome un trozo de papel de calco y calque sobre la forma A. La forma trazada se puede colocar exactamente sobre la forma B. Tienes que girar a través de 90 °, pero sigue siendo el mismo.

Para ajustar su forma trazada A sobre la forma C, debe darle la vuelta al papel de calco. Esto es un reflexión de forma A, pero sigue siendo el mismo.

Luego, si lo giras un poco más, alcanzas la forma D.

Ahora tome su forma trazada A e intente ajustarla exactamente sobre las formas E, F G y H. No importa cuántas veces gire o dé la vuelta al papel, no encajará exactamente. Por tanto, estas formas no pueden describirse como congruentes con las formas A, B, C y D.

La congruencia es comparativa


La forma A no puede describirse como 'congruente' por sí sola. Si observa la forma A por sí sola, puede decir que es un hexágono irregular y puede medir su perímetro y área. Sin embargo, no se puede describir como congruente hasta que haya otra forma con la que compararlo.

La forma G, por ejemplo, no es congruente con ninguna de las otras formas de nuestro diagrama. Pero si tiene un grupo de formas iguales a la forma G, entonces la forma G sería congruente con todas esas formas.


Simetría

Una forma se puede describir como simétrico si tiene una propiedad a la que los matemáticos se refieren como simetría .

La forma más simple de simetría es simetría lineal .

La simetría lineal es una forma de reflexión (que se trata más adelante en esta página) y a veces se denomina simetría de espejo . Esto significa que si colocara un espejo a lo largo de la línea de simetría, entonces el reflejo de la forma en el espejo sería idéntico a la forma sin el espejo en su lugar.

La letra A, por ejemplo, tiene una única línea vertical de simetría, desde el vértice hasta la base:

Simetría del capital A.

Es posible que las formas tengan múltiples ejes de simetría. De hecho, para polígonos regulares, el número de ejes de simetría es el mismo que el número de lados de la forma . Entonces, un hexágono (seis lados) tiene seis ejes de simetría y un dodecágono (12 lados) tiene 12 ejes de simetría. Por tanto, un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría.

Líneas de simetría

Asimetría

¿Cómo se encuentra el volumen de un objeto?

Si una forma no tiene ningún eje de simetría, como la forma en el ejemplo de congruencia, se describe como asimétrico . Esto también es cierto para el trapezoide y el paralelogramo que se muestran en el diagrama anterior.

Otra forma común de simetría es simetría rotacional . Si gira algo, simplemente gírelo. Esto es lo mismo con la simetría rotacional: la forma se gira un número exacto de veces alrededor de un punto .

los orden de simetría rotacional es el número de veces que la forma se replica en una rotación completa . Las repeticiones son siempre en ángulos regulares, como los lados de un polígono regular.

Logotipo de reciclaje - simetría rotacional.

El ejemplo más comúnmente reconocido de simetría rotacional es posiblemente el símbolo de reciclaje con tres flechas.

Este logo familiar tiene un simetría rotacional de orden 3 , es decir, la forma se replica tres veces cuando se gira sobre el punto central del logotipo.

Cualquier forma puede tener simetría rotacional; el siguiente diagrama muestra la forma A de nuestro ejemplo de congruencia, con un orden de 4 :

Simetría rotacional

Reflexión

En la sección sobre simetría del espejo anterior, aprendimos que si se coloca un espejo a lo largo de la línea de simetría, la imagen reflejada se ve igual que la imagen sin el espejo. Este es un tipo específico de reflexión. A línea de espejo o línea de reflexión puede existir en cualquier lugar relativo a una forma, no solo a lo largo de una línea de simetría. La imagen de la forma en el otro lado de la línea del espejo es su reflexión .

En el diagrama a continuación, A es la forma original. La reflexión más simple de entender es cuando la forma A se refleja en una línea de espejo vertical que es paralela a su lado más largo. La forma reflejada es B .

Una línea de espejo se puede colocar en cualquier lugar y en cualquier ángulo con respecto a la forma original. La línea diagonal del espejo está aproximadamente a 45 ° del lado más largo de la forma. A y la forma reflejada es C .

Transformación de forma: forma reflejada en una línea de espejo vertical y diagonal.

Dibujar formas reflejadas

Cuando necesite dibujar el reflejo de una forma en una página, puede tener una idea de cómo se verá usando un espejo.

Puede trazar su imagen en papel de calco, luego doblar el papel a lo largo de la línea de reflejo (o línea de espejo) y luego trazar el reflejo. Pero si necesita dibujarlo con precisión, necesitará papel cuadriculado y un enfoque lógico.

Cómo dibujar reflejos a través de una línea de espejo.

En el diagrama de arriba, el triángulo original está etiquetado como ABC. La línea del espejo está dibujada en rojo y está etiquetada línea de reflexión .
El triángulo ABC reflejado en la línea del espejo es el triángulo A'B'C '.

Las reglas de la reflexión

  • Cada punto y su reflejo están exactamente a la misma distancia de la línea del espejo.

  • La línea que conecta un punto con su reflejo es perpendicular (en ángulo recto) a la línea del espejo.


En el diagrama, la línea que conecta el punto A con A 'se llama linea de construccion e ilustra estas reglas: La distancia entre A y la línea del espejo es la misma que la distancia entre A 'y la línea del espejo; y la línea de construcción es perpendicular a la línea del espejo (mostrada por el pequeño cuadrado en su centro).

Cuando dibuja una forma reflejada, debe utilizar este enfoque sistemático:

  • Comience en una esquina (punto A en nuestro ejemplo) y dibuje una línea de construcción desde ese punto a través de la línea del espejo. Use un transportador o una escuadra para asegurarse de que esta línea esté en ángulo recto con la línea del espejo.

  • Mida con precisión la distancia a lo largo de la línea de construcción desde el punto (A) hasta la línea del espejo y tome nota de la medida. Comenzando en el punto donde la línea de construcción y la línea de espejo se cruzan (cruzan), ahora mida la misma distancia a lo largo de la línea de construcción en el lado opuesto de la línea de espejo y dibuje un punto en este punto. Este es tu punto A '.

  • Repite el proceso para los puntos B y C (o más, dependiendo de tu forma), luego une con cuidado los puntos reflejados en el orden en que los dibujaste, para crear tu forma reflejada.

Todo esto suena muy complicado, pero se vuelve más fácil con la práctica. Puede ser un ejercicio divertido para perfeccionar sus habilidades espaciales.


Traducción

La traducción es otro de esos términos matemáticos que suena mucho más difícil de lo que es. De hecho, ¡es realmente fácil!

La traslación es el movimiento de una forma de un lugar a otro sin rotación ni reflexión.

Es decir, si cada punto de la forma original se mueve a lo largo de una línea recta, exactamente a la misma distancia y exactamente en la misma dirección (en el mismo ángulo), entonces esta es una traslación de esa forma.

Traducción de formas

El diagrama de arriba ilustra la traducción: cada punto de la forma de la izquierda se mueve cuatro cuadrados a la derecha.

Sin embargo, el diagrama a continuación no se puede describir como una traducción, porque la forma es ambos traducido (movido en línea recta) y girado:

No es una traducción: traducida y rotada.

Una nota sobre los vectores


En el diagrama siguiente, cada punto de la forma original es traducido cinco cuadrados a la derecha y dos cuadrados verticalmente hacia abajo:

Ejemplo de vector de columna

Una herramienta matemática llamada columna vector se puede utilizar para describir esta traducción. Son dos números entre paréntesis alineados verticalmente (en una columna).

Entonces ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) es la traslación 5 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.

Los vectores se presentan en la forma ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Dónde (x) es el eje horizontal (traslaciones positivas a la derecha, negativas a la izquierda) y (y) es el eje vertical (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo, de ahí que la traslación de dos unidades hacia abajo se escriba -2).

Para más sobre (x) y (y) ejes, consulte nuestra página en Coordenadas cartesianas .

Los vectores son increíblemente útiles en matemáticas, porque son capaces de describir cosas que tienen tanto en magnitud como en dirección . Los vectores son muy importantes en muchas aplicaciones y el estudio del movimiento es un ejemplo. En este caso, las cantidades vectoriales incluyen velocidad , aceleración , fuerza , desplazamiento y impulso .


Rotación

Descubrimos el concepto de rotación de una forma en la sección de simetría rotacional anterior. En el caso de la simetría rotacional, la forma se rotó y se repitió a intervalos angulares precisos alrededor de su centro.

Rotación de una forma sin simetría puede ser a través de cualquier ángulo, en sentido horario o antihorario, alrededor de un solo punto. Este punto es importante y se llama centro de rotacion .

El siguiente diagrama muestra un triángulo rectángulo A girado alrededor de un punto O. El triángulo B es lo que parece cuando se gira en sentido antihorario 90 °. El triángulo C es el triángulo A girado 180 ° en el sentido de las agujas del reloj.

Rotación. Diagrama que muestra un triángulo rectángulo girado 90 y 180 grados.

La regla de rotación:


La distancia de cualquier punto de la forma desde el centro de rotación siempre permanece igual.

Entonces, si tuviera que tomar una brújula, colocar su punto en el centro de rotación y unir el vértice de cada uno de los triángulos en el diagrama de arriba, entonces habría dibujado un círculo perfecto, como lo indica el círculo rojo.


Conclusión

Las formas bidimensionales rara vez se encuentran aisladas en el mundo real, sino que se repiten, reflejan, trasladan y rotan. Son lo que los matemáticos llaman transformaciones. Encontramos ejemplos en todo, desde logotipos de productos hasta enormes estructuras de ingeniería y obras maestras arquitectónicas.

Hay muchos tipos de transformación matemáticamente más complejos, para los que se vuelven útiles conceptos más avanzados, como los vectores. Si bien esta página solo ofrece una introducción a algunos de los conceptos básicos, es de esperar que le haya dejado mucho que REFLEJAR ¡en!


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