Teoría de conjuntos simple

Ver también: Análisis estadístico simple

Un conjunto es una colección de objetos, nada más y nada menos.

Suena simple, pero la teoría de conjuntos es uno de los bloques de construcción básicos para las matemáticas superiores, por lo que ayuda a comprender bien los conceptos básicos.

Esta página establece los principios de los conjuntos y los elementos dentro de ellos. También explica las operaciones que involucran conjuntos.



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El lenguaje de los conjuntos: algunas definiciones

Desafortunadamente, al igual que muchas otras ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos tiene su propio lenguaje que debe comprender. A continuación, se muestran algunos términos y definiciones útiles:

  • A colocar es una colección de objetos con algo en común. Un conjunto puede ser, por ejemplo, números primos, pájaros que entran en su jardín o personas a las que les ha enviado tarjetas de Navidad en los últimos cinco años.

  • los elementos de un conjunto son las cosas que contiene, como números primos, pájaros o personas, como en los ejemplos anteriores. También se les llama miembros de un conjunto.

  • El símbolo significa 'es un elemento de'. Por ejemplo, podrías escribir 2 ∈ A, lo que significaría que 2 era un elemento del conjunto A. También puedes escribir , que significa 'no es un elemento de'.

  • Puede demostrar que algo está en un conjunto de dos formas sencillas:

    • En palabras, por ejemplo 'Todas las especies de pájaros que he visto en mi jardín', o 'los números primos entre 0 y 100'; y
    • Poniendo corchetes alrededor de una lista de elementos. Por ejemplo, el conjunto de números primos entre 0 y 10 podría escribirse {1, 2, 3, 5, 7}. También puede usar puntos suspensivos (tres puntos '...' si tuviera que escribir demasiados números. Por ejemplo, si su conjunto fuera todos los números entre 1 y 20, podría escribir {1, 2, 3, ... 20} .

¡ADVERTENCIA!


Si va a utilizar puntos suspensivos (elipses en plural), asegúrese de que el contenido de su conjunto no sea ambiguo. Por ejemplo, si su conjunto fuera uno de cada tres números entre 1 y 50, no sería suficiente escribir {1… 50} porque también podría ser cada número entre 1 y 50.


  • Los conjuntos generalmente se muestran con una letra mayúscula, para distinguirlos de las variables en álgebra , que generalmente se escriben en minúsculas.

  • Los juegos pueden contener tangible o intangible elementos, siempre que los defina de forma clara y sin ambigüedades.

  • (Los elementos tangibles son objetos físicos, como edificios, vehículos o artilugios. Los elementos intangibles son abstractos y no tienen presencia física, como emociones, rasgos de personalidad u opiniones de los clientes).
  • los cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene un conjunto.

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  • Se dice que los conjuntos que contienen los mismos elementos son igual . También puedes decir que son equivalente o idéntico .

Los conjuntos pueden seguir siendo idénticos incluso si uno contiene el mismo elemento dos veces: la igualdad radica en tener los mismos constituyentes, no en las cantidades o el pedido . Entonces, por ejemplo, todos los siguientes conjuntos son iguales:

A = días de la semana excepto fines de semana

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

C = {lunes, lunes, martes, miércoles, jueves, martes, viernes}

  • El conjunto A cuyos elementos están todos contenidos dentro de otro conjunto B más grande, con más elementos, se dice que es un subconjunto de B. El símbolo significa 'es un subconjunto de'. En este caso, A ⊂ B ..

  • los conjunto vacio no tiene ningún elemento. Está escrito {} o ISLA . Debido a que todos los conjuntos vacíos son iguales, solo hay uno (en otras palabras, todos son iguales). ¡También es un subconjunto de todos los demás conjuntos del mundo!

  • los universal establecer, o U , es todo. Sin embargo, es específico de un problema particular, en lugar de ser 'todo en el mundo'. Esto significa que podría, por ejemplo, definir el conjunto universal como 'todos los números entre 1 y 100', o 'todos los números entre 1 y 10', según su problema.


Trabajar con conjuntos

Así como los números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, existen cuatro operaciones básicas para los conjuntos:

Unión, intersección, complemento relativo y complemento

Podemos ver cada uno de estos usando tres conjuntos:

  • A = {1, 2, 4, 7}
  • B = {2, 5, 6, 8}
  • C = {5, 10, 15, 20}

Unión

Unión es como sumar. La unión de dos conjuntos son sus elementos combinados, es decir, todos los elementos que están en cualquiera colocar. El símbolo de unión es .

UNA ∪ B = {1, 2, 4, 7} ∪ {2, 5, 6, 8} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

¡Recuerda!


Cuando aparece el mismo número en ambos conjuntos, solo necesita incluirlo una vez en el conjunto de unión.

La unión de cualquier conjunto consigo mismo es ella misma, A ∪ A = A.

La unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío también es en sí misma, A ∪ ∅ = A

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Intersección

La intersección entre dos conjuntos son los elementos que tienen en común. El símbolo de intersección es .

Usando los tres conjuntos anteriores:

A ∩ B = {1, 2, 4, 7} ∩ {2, 5, 6, 8} = {2}

A ∩ C = {1, 2, 4, 7} ∩ {5, 10, 15, 20} = {}. En otras palabras, no hay elementos en común, por lo que la intersección es el conjunto vacío.

Complemento relativo

Si unión es como suma, el complemento relativo es un poco como la resta. El símbolo para ello es el signo menos, -.

Comienzas con el primer conjunto y eliminas también todos los elementos que aparecen en el segundo conjunto.

¡ADVERTENCIA!


¡NO terminas con todos los elementos que están solo en uno u otro!

El complemento inverso es SÓLO aquellos elementos de la primero conjuntos que NO están también en el segundo conjunto.


A - B = {1, 2, 4, 7} - {2, 5, 6, 8} = {1, 4, 7}

B - A = {2, 5, 6, 8} - {1, 2, 4, 7} = {5, 6, 8}

En cada caso, el único número que está en ambos es 2, por lo que es el único número que se elimina del primer conjunto.

Complemento

El complemento de un conjunto es todo lo que no está en él. Aquí es donde el conjunto universal resulta útil, porque el complemento es U (el conjunto universal), el conjunto con el que está trabajando.

El símbolo del complemento es ', por lo que escribiría A' o B 'para los conjuntos anteriores.

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Complemento y complemento inverso


Tanto el complemento como el complemento inverso son muy similares a la resta PERO

  • Para obtener el complemento de un conjunto, resta el conjunto de el conjunto universal .
  • Para obtener el complemento inverso de un conjunto, lo resta de otro conjunto definido .

En conclusión…

Es posible que los conjuntos no parezcan muy útiles en el día a día. Sin embargo, son extremadamente útiles para las matemáticas superiores, así que tengan paciencia con ellos. Es bueno comprender los conceptos básicos, de modo que pueda volver a ellos más tarde si es necesario.

Continuar con:
Introducción a la probabilidad
Introducción al álgebra