Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

Ver también: Coordenadas cartesianas

Nuestra pagina en Coordenadas cartesianas introduce el tipo más simple de sistema de coordenadas, donde los ejes de referencia son ortogonales (en ángulo recto) entre sí. En la mayoría de las aplicaciones cotidianas, como dibujar un gráfico o leer un mapa, utilizaría los principios de los sistemas de coordenadas cartesianos. En estas situaciones, la posición exacta y única de cada punto de datos o referencia de mapa se define mediante un par de coordenadas (x, y) (o (x, y, z) en tres dimensiones). Las coordenadas son la 'dirección' del punto, su ubicación relativa a una posición conocida llamada origen , dentro de una cuadrícula bidimensional o tridimensional en una superficie plana o un espacio rectangular 3D.

Sin embargo, algunas aplicaciones involucran curvo líneas, superficies y espacios. Aquí, las coordenadas cartesianas son difíciles de usar y se hace necesario usar un sistema derivado de formas circulares, como sistemas de coordenadas polares, esféricas o cilíndricas.


¿Por qué son importantes las coordenadas polares, esféricas y cilíndricas?

En situaciones cotidianas, es mucho más probable que encuentre sistemas de coordenadas cartesianos que polares, esféricos o cilíndricos. Sin embargo, las coordenadas polares bidimensionales y sus parientes tridimensionales se utilizan en una amplia gama de aplicaciones, desde ingeniería y aviación hasta animación y arquitectura por computadora.



Es posible que deba usar coordenadas polares en cualquier contexto donde haya simetría circular, esférica o cilíndrica en forma de un objeto físico, o algún tipo de movimiento circular u orbital (oscilatorio).

¿Qué significa eso?

Las formas o estructuras físicamente curvadas incluyen discos, cilindros, globos o cúpulas. Estos podrían ser cualquier cosa, desde recipientes a presión que contienen gases licuados hasta los muchos ejemplos de estructuras de domo en obras maestras arquitectónicas antiguas y modernas.

Los físicos e ingenieros usan coordenadas polares cuando trabajan con una trayectoria curva de un objeto en movimiento (dinámica) y cuando ese movimiento se repite hacia adelante y hacia atrás (oscilación) o dando vueltas y vueltas (rotación). Los ejemplos incluyen el movimiento orbital, como el de los planetas y satélites, un péndulo oscilante o vibración mecánica. En un contexto eléctrico, las coordenadas polares se utilizan en el diseño de aplicaciones que utilizan corriente alterna; los técnicos de audio los utilizan para describir el 'área de captación' de los micrófonos; y se utilizan en el análisis de temperatura y campos magnéticos.

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Un énfasis en la exploración


El uso más familiar en un contexto cotidiano es quizás la navegación. Los exploradores a lo largo de la historia se han basado en la comprensión de las coordenadas polares.

Los barcos y aviones navegan utilizando brújulas que indican la dirección de viaje (conocida como título ) en relación con una dirección conocida, que es el norte magnético. El rumbo se mide como un ángulo desde el norte (0 °), en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la brújula, por lo que el este es 90 °, 180 ° sur y 270 ° oeste.

Los satélites GPS pueden señalar la posición de un barco con gran precisión en el mundo actual, pero incluso ahora la gente de mar y los aviadores deben comprender los principios de la navegación clásica.



¿Cómo se definen las coordenadas polares, esféricas y cilíndricas?

En estos casos y muchos más, es más apropiado utilizar una medida de distancia a lo largo de una línea orientada en un radial dirección (con su origen en el centro del círculo, esfera o arco) combinada con un ángulo de rotación, de lo que es usar un sistema de coordenadas ortogonal (cartesiano).

La trigonometría se puede utilizar para convertir entre los dos tipos de sistema de coordenadas. Para obtener más información sobre esto y la teoría detrás de esto, eche un vistazo a nuestras páginas en formas curvas , formas tridimensionales y trigonometría .

Coordenadas polares

Coordenadas polares

En aplicaciones matemáticas donde es necesario utilizar coordenadas polares, cualquier punto del plano está determinado por su distancia radial. (r ) desde el origen (el centro de curvatura, o una posición conocida) y un ángulo theta ( theta ) (medido en radianes).

El ángulo ( theta ) siempre se mide desde el (x) -eje a la línea radial desde el origen hasta el punto (ver diagrama).

De la misma manera que un punto en coordenadas cartesianas está definido por un par de coordenadas ( (x, y )), en coordenadas radiales está definido por el par ( (r, theta )). Usando Pitágoras y trigonometría, podemos convertir entre coordenadas cartesianas y polares:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {y} quad tan theta = frac {y} {x} $$

Y de regreso:

$$ x = r cos theta quad text {y} quad y = r sin theta $$

Sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas

Estos sistemas son los parientes tridimensionales del sistema de coordenadas polares bidimensionales.

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Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas son más fáciles de entender que las esféricas y son similares al sistema cartesiano tridimensional (x, y, z). En este caso, el plano ortogonal x-y se reemplaza por el plano polar y el eje z vertical permanece igual (ver diagrama).

La conversión entre sistemas cilíndricos y cartesianos es la misma que para el sistema polar, con la adición de la coordenada z, que es la misma para ambos:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {y} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {y} quad z = z $$

Superficies en el sistema cilíndrico:


  • Si haces que (z ) sea una constante, tienes un plano circular plano.
  • Si haces de ( theta ) una constante, tienes un plano vertical.
  • Si hace que (r ) sea constante, tiene una superficie cilíndrica.

Coordenadas esféricas

los sistema de coordenadas esféricas es más complejo. Es muy poco probable que lo encuentre en situaciones cotidianas. Se utiliza principalmente en aplicaciones complejas de ciencia e ingeniería. Por ejemplo, los campos eléctricos y gravitacionales muestran simetría esférica.

Coordenadas esféricas definir la posición de un punto por tres coordenadas rho ( ( rho ) ), theta ( ( theta )) y phi ( ( phi )).

( rho ) es la distancia desde el origen (similar a (r ) en coordenadas polares), ( theta ) es lo mismo que el ángulo en coordenadas polares y ( phi ) es el ángulo Entre los (con) -eje y la línea desde el origen hasta el punto.

De la misma manera que se convierte entre coordenadas cartesianas y polares o cilíndricas, es posible convertir entre coordenadas cartesianas y esféricas:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {y} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {y} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Superficies en un sistema esférico:


  • Si haces de ( rho ) una constante, tienes una esfera.
  • Si haces de ( theta ) una constante, tienes un plano vertical.
  • Si haces de ( phi ) una constante, tienes un plano horizontal (o un cono).

Latitud y longitud, mapas y navegación

La aplicación más familiar de las coordenadas esféricas es el sistema de latitud y longitud que divide la superficie de la Tierra en una cuadrícula con fines de navegación. Las distancias entre las líneas de la cuadrícula no se miden en millas o kilómetros, sino en grados y minutos.

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Las líneas de latitud son cortes horizontales a través del globo. El corte en el Ecuador está a 0 ° de latitud y los polos están a ± 90 °. Estas líneas se llaman paralelas.

Las líneas de longitud son como las cuñas de una naranja, medidas radialmente desde una línea vertical de simetría que conecta los polos. Estas líneas se llaman meridianos. La línea de referencia de 0 ° de longitud se conoce como Meridiano de Greenwich, que pasa por el Observatorio Real de Greenwich, Londres.

La tierra

Sin embargo, para utilizar este sistema 3D para la navegación, la cuadrícula curva debe transferirse a 'cartas' planas (mapas de las costas y el fondo del océano para la gente de mar) mediante un proyección . De esta forma, los gráficos se pueden utilizar como mapas convencionales con un sistema de cuadrícula ortogonal, y se pueden aplicar las reglas de las coordenadas cartesianas.

Primero imagina envolviendo un trozo de papel alrededor de un globo, haciendo un cilindro. La imagen del gráfico se proyecta desde la esfera tridimensional sobre la hoja de papel bidimensional. Este es un método específico utilizado por los cartógrafos llamado Proyección Mercator .

Las líneas de la cuadrícula en una carta náutica todavía están en grados y minutos y las distancias se miden en millas náuticas. Una milla náutica es lo mismo que un minuto de latitud.


Conclusión

Es poco probable que necesite usar coordenadas polares o esféricas a menos que trabaje en un rol que lo requiera específicamente, pero es útil conocer cuáles son y cómo se usan.

También es fascinante comprender cómo un mapa de una forma tridimensional como el globo puede traducirse en gráficos planos que han permitido a la gente de mar viajar por el mundo durante cientos de años.


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