Introducción a la trigonometría

Ver también: Geometría una introducción

La trigonometría, como sugiere el nombre, se trata de triángulos.

Más específicamente, la trigonometría se trata de triángulos rectángulos, donde uno de los ángulos internos es de 90 °. La trigonometría es un sistema que nos ayuda a calcular las longitudes o ángulos de los lados desconocidos o faltantes en un triángulo.

Hay más información sobre los triángulos en nuestra página sobre Polígonos en caso de que necesite repasar los conceptos básicos antes de seguir leyendo aquí.



Triángulos en ángulo recto: un recordatorio

Un triángulo rectángulo tiene un solo ángulo recto. Por definición, eso significa que todos los lados no pueden tener la misma longitud. A continuación se muestra un triángulo rectángulo típico.

Términos importantes para triángulos en ángulo recto


Triángulo rectángulo que muestra el opuesto, el adyacente y la hipotenusa
  • los ángulo recto está indicado por el recuadro en la esquina.

  • El otro ángulo que (normalmente) conocemos está indicado por θ (theta) .

  • El lado opuesto al ángulo recto, que es el lado más largo, se llama hipotenusa .

  • El lado opuesto a θ se llama opuesto .

  • El lado junto a θ que no es la hipotenusa se llama adyacente .

Teorema de Pitágoras frente a trigonometría


Pitágoras fue un filósofo griego que vivió hace más de 2500 años. Se le atribuye una serie de importantes descubrimientos matemáticos y científicos, posiblemente el más significativo de los cuales se conoce como el Teorema de Pitágoras.

Es una regla importante que se aplica solo para triángulos rectángulos . Dice que 'El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados'.

Eso suena bastante complicado, pero en realidad es un concepto bastante simple cuando lo vemos en un diagrama:

en comparación con el límite estándar del 5% para la significación estadística, un límite del 10%:
Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice:

a2+ b2= c2

Entonces, si conocemos la longitud de dos lados de un triángulo y necesitamos calcular el tercero, podemos usar el Teorema de Pitágoras.

Sin embargo, si solo conocemos la longitud de un lado y uno de los ángulos internos, entonces Pitágoras no nos sirve por sí solo y necesitamos usar la trigonometría.


Introduciendo seno, coseno y tangente

Hay tres funciones básicas en trigonometría, cada una de las cuales es un lado de un triángulo rectángulo dividido por otro.

Las tres funciones son:

Nombre Abreviatura Relación con los lados del triángulo
Seno Sin Sin (θ) = Opuesto / hipotenusa
Coseno Algo Cos (θ) = adyacente / hipotenusa
Tangente Tan Tan (θ) = Opuesto / adyacente


Calcular seno, coseno y tangente

Puede resultarle útil recordar el seno, el coseno y la tangente como SOH CAH TOA.

Para empezar, recordar las funciones trigonométricas puede ser difícil y confuso. Incluso SOH CAH TOA puede ser complicado. Podrías intentar inventar una mnemotécnica divertida que te ayude a recordar. Simplemente mantenga cada grupo de tres letras en el mismo orden.

Por ejemplo, TOA SOH CAH podría ser T él O ld A un arqueólogo S a O norte H es C avena A Dakota del Norte H a'.

¡Sugerencia!


Debido a las relaciones entre ellos, Tan θ también se puede calcular como:
Sin θ / Cos θ.

como empiezas una carta

Esto significa que:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ y
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometría en círculo

Para obtener más información sobre los círculos o un repaso rápido, consulte nuestra página en Círculos y formas curvas .

Al considerar triángulos, estamos limitados a ángulos menores a 90 °. Sin embargo, la trigonometría es igualmente aplicable a todos los ángulos, de 0 a 360 °. Para comprender cómo funcionan las funciones trigonométricas con ángulos mayores a 90 °, es útil pensar en triángulos construidos dentro de un círculo.

Las coordenadas cartesianas de un círculo.

Considere un círculo dividido en cuatro cuadrantes.

Convencionalmente, el centro del círculo se considera una coordenada cartesiana de (0,0). Es decir, el valor de x es 0 y el valor de y es 0. Para obtener más información sobre esto, consulte nuestra página en Coordenadas cartesianas .

Cualquier cosa a la izquierda del centro tiene un valor x menor que 0 , o es negativo, mientras que cualquier elemento de la derecha tiene un valor positivo.

De manera similar, cualquier cosa por debajo del punto central tiene un valor de y menor que 0 , o es negativo y cualquier punto en la parte superior del círculo tiene un valor de y positivo.


Usar un círculo con funciones trigonométricas para ángulos mayores a 90 °.

Diagrama I muestra lo que sucede si dibujamos un radio desde el centro del círculo hacia la derecha a lo largo del eje x (decimos que esto es en una dirección positiva).

Luego giramos el radio en sentido antihorario a través de un ángulo theta θ. Esto crea un triángulo rectángulo.

Sin θ = opuesto (línea roja)
hipotenusa (línea azul)

Cos θ = adyacente (línea verde)
hipotenusa (línea azul)

En Diagrama yl , hemos girado el radio más en sentido antihorario, más allá de la vertical (eje y) en el siguiente cuadrante. Aquí θ es un ángulo obtuso, entre 90 ° y 180 °. El ángulo de referencia alfa α es igual a 180 ° - θ, y es el ángulo agudo dentro del triángulo rectángulo.

Sin θ = Sin α = opuesto (línea roja)
hipotenusa (línea azul)

Tanto la línea azul como la roja son positivas, por lo que sin θ es positivo.

Cos θ = −Cos α = adyacente (línea verde)
hipotenusa (línea azul)

Cos θ es negativo, ya que la línea verde es negativa (se encuentra a lo largo del eje x a la izquierda del origen (0,0), por lo que está en la sección negativa del eje x).

En Diagrama iii , el radio ha girado más en sentido antihorario en el siguiente cuadrante de modo que el valor de θ está entre 180 ° y 270 °. Las líneas verde, roja y azul tienen valores negativos y α = θ - 180 °. Por tanto, los senos y cosenos tienen un valor positivo.

Diagrama iv muestra el cuadrante final. El valor de θ está entre 270 ° y 360 °, la línea verde es positiva, pero las líneas roja y azul son negativas. Por tanto, Sin θ es positivo y Cos θ es negativo. α = 360 ° - θ.


El círculo de la unidad

los 'Circulo unitario' es un caso especial del círculo que se muestra en los diagramas de arriba. El círculo unitario tiene un radio de 1.

Cuando trabajamos con un círculo unitario podemos medir cos, sin y tan directamente:

Seno, coseno y tangente: círculo unitario

Gráficas de seno, coseno y tangente

La relación entre el ángulo y el sin o cos se puede dibujar como un gráfico:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Gráfico de seno, coseno. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Puedes ver que cuando θ es 0, entonces también lo es seno. Esto tiene sentido cuando mira el diagrama de círculo unitario de arriba. Cuando θ = 0, el adyacente y la hipotenusa se encuentran a lo largo del eje x positivo y la línea roja que muestra el valor de sin θ desaparece (no hay triángulo).

El gráfico de coseno tiene la misma forma que el seno, pero tiene un valor de 1 cuando θ = 0. Mirando nuevamente el círculo de arriba, cuando θ = 0, el adyacente y la hipotenusa se encuentran a lo largo del eje x positivo y tienen el mismo valor, entonces adyacente / hipotenusa = 1.

La naturaleza cíclica de los gráficos de seno y coseno es increíblemente importante en la ciencia, la naturaleza y la ingeniería. Los ejemplos incluyen aplicaciones eléctricas (corriente alterna), ondas sonoras y de radio, movimiento armónico simple (como un péndulo oscilante), la trayectoria de los satélites o la subida y bajada de la marea.

los amplitud de un patrón de onda cíclica es el valor del 'pico' en el gráfico, es decir, la distancia desde el eje x hasta el valor máximo o mínimo. En los gráficos de seno y coseno anteriores, la amplitud tiene un valor de 1. En aplicaciones como el sonido o la corriente eléctrica, la amplitud varía, según el volumen del sonido o la magnitud de la corriente. La amplitud de las mareas también varía, dependiendo de la posición de la luna y su 'atracción' sobre la tierra.

Las características del gráfico de tangente (tan θ) son bastante diferentes. El gráfico de tangente no tiene una amplitud (características de onda) porque no tiene valores máximos ni mínimos. Cambia de −∞ a + ∞ (infinito negativo y positivo) cruzando 0 cada 180 °:

Gráfico de rectas tangentes.

En el infinito (positivo o negativo) se dice que es indefinido. Podemos entender mejor este gráfico si consideramos la ecuación tan θ = sin θ / cos θ. Siempre que sin θ sea cero, tan θ también debe ser cero. Por el contrario, siempre que cos θ es cero, entonces el denominador de la ecuación se convierte en cero. Cualquier cosa dividida por cero tiene un valor de infinito, por lo que los valores de θ que tienen un coseno de cero también tienen una tangente de infinito en la gráfica. El infinito no tiene un valor exacto, por lo que las líneas en el gráfico de tangente se vuelven cada vez más verticales a medida que el eje y aumenta a valores cada vez mayores. Las líneas se acercan cada vez más a las líneas verticales en el gráfico para valores particulares de θ, por ejemplo, a 90 °. Cada una de estas líneas verticales se llama asíntota .

Inversa de seno, coseno y tangente

También puede calcular la función inversa a sin, cos y tan, lo que significa 1 dividido por esa función. Se designan como sin / cos / tan -1. Esto le permite calcular el ángulo si tiene el pecado, el cos o el bronceado.

En otras palabras:

  • Sin (90) = 1
  • Sin−1 (1) = 90°

Trigonometría y calculadoras


Las calculadoras científicas tienen funciones sin, cos y tan, así como funciones inversas. Vale la pena tomarse unos minutos para averiguar cómo funciona su calculadora, ya que esto podría ahorrarle horas de trabajo cuando lo necesite.


Otros triángulos y trigonometría

La trigonometría también funciona para otros triángulos, pero no de la misma manera. En cambio, hay dos reglas basadas en un triángulo como este:

Triángulos en trigonometría

La regla del seno es:

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a/sin A=b/sin B=c/sin C

La regla del coseno es:

c2= a2+ b2- 2ab cos (C)


¿Por qué necesito trigonometría?

Ésta es una pregunta razonable, y la respuesta es, al menos en parte, porque quienes deciden el plan de estudios de matemáticas en muchos países piensan que deberían conocerlo, y por muy buenas razones.

Se dice que la trigonometría es la relación matemática más importante jamás descubierta. Los triángulos son una de las formas más simples que se encuentran en la naturaleza, pero sus matemáticas tienen una importancia vital, especialmente cuando se necesitan medidas precisas de distancia. Cuando empezamos a pensar en las aplicaciones donde las distancias precisas son importantes, es evidente que hay decenas, incluida la navegación en sistemas navales y de aviación, astronomía, sistemas de satélites, estudios geográficos y cartografía (mapas), arquitectura e ingeniería estructural, diseño gráfico. e imágenes generadas por computadora.

Muchos de estos se basan en una técnica de medición conocida como triangulación , que aplica los conceptos de trigonometría.

Ejemplo: trigonometría y navegación

Cuando navegas o navegas en el mar, el lugar al que terminas se ve afectado por:

  • La dirección en la que te diriges;
  • La velocidad a la que viaja en esa dirección (es decir, la velocidad del motor o del viento); y
  • La dirección y velocidad de la marea.

Puede conducir en una dirección, pero la marea podría venir de un lado y empujarlo hacia el otro. Necesitará trigonometría para calcular qué tan lejos viajará y en qué dirección precisa.

Calcula tu dirección de viaje usando trigonometría.

Con razón, habrá descubierto que no es tan simple como todo eso, porque la dirección real de viaje depende de la velocidad de la marea y su velocidad, ¡pero probablemente pueda ver por qué la trigonometría podría ser importante!

identificación y definición de un problema

Ejemplo resuelto

Estás navegando por un día y no te importa dónde terminas. Comenzó con rumbo al este y planea navegar durante una hora a una velocidad de crucero de 10 km / h. La marea se dirige hacia el norte y corre a 5 km / h. ¿En qué dirección terminarás viajando?

  1. Primero dibuja tu triángulo y rotule los lados. Te diriges hacia el este, así que hagamos que la parte inferior del triángulo tenga una longitud de 10 km. La marea te empujará hacia el norte, así que hagámoslo del lado derecho. Y quieres saber en qué dirección terminarás yendo, así que ese es el ángulo θ.

    Ejemplo de trigonometría
  2. Tienes el opuesto y el adyacente, lo que significa que necesitas usar la tangente. Tan θ = Opuesto / adyacente = 5/10 = 0.5.

  3. Ahora es el momento de usar la función de bronceado inverso. El bronceado inverso de 0.5 es 26.6 °. En otras palabras, tan 26,6 = 0,5.

  4. Brújula La dirección (su 'rumbo' en la navegación) se mide desde el norte , que es 0 ° en tu brújula. Sin embargo, su respuesta de (3) se mide a partir de 90 ° o este. Por lo tanto, deberá restar su respuesta de 90 ° para obtener la respuesta: viaja en una dirección (rumbo) de 63,4 °, que se encuentra entre el noreste (45 °) y el este noreste (67,5 °).

¿Porque es esto importante? ¡Necesitarás saber en qué dirección viajaste para poder navegar a casa, por supuesto!

En la vida real, también deberá recordar que para entonces la marea puede haber cambiado ...


Conclusión

Es posible que la trigonometría no tenga tantas aplicaciones diarias, pero le ayuda a trabajar con triángulos más fácilmente. Es un complemento útil para la geometría y las medidas reales y, como tal, vale la pena desarrollar una comprensión de los conceptos básicos, incluso si nunca desea avanzar más.

Continuar con:
Geometría
Introducción al álgebra