Introducción al álgebra

Ver también: Teoría de conjuntos

Mucha gente piensa eso ecuaciones y álgebra están más allá de ellos: la idea de tener que trabajar con ecuaciones los llena de miedo. Sin embargo, no hay por qué tener miedo a las ecuaciones.

La buena noticia es que las ecuaciones son en realidad conceptos relativamente simples, y con un poco de práctica y la aplicación de algunas reglas simples, puedes aprender a manipularlas y resolverlas.

Esta página está diseñada para presentarle los conceptos básicos del álgebra y, con suerte, hacerlo sentir más cómodo al resolver ecuaciones simples.



¿Qué es una ecuación?


Una ecuación son dos expresiones a cada lado de un símbolo que indican su relación.

Esa relación puede ser igual (=), menor que () o alguna combinación. Por ejemplo, menor o igual a (≤) o incluso no igual a (≠) o aproximadamente igual a (≈) Estos se conocen como igualdad símbolos.

Por lo tanto, las ecuaciones simples incluyen 2 + 2 = 4 y 5 + 3> 3 + 4.

Sin embargo, cuando la mayoría de la gente habla de ecuaciones, se refiere a ecuaciones algebraicas.

Estas son ecuaciones que involucran tanto letras como números. Las letras se utilizan para reemplazar algunos de los números en los que una expresión numérica sería demasiado complicada o en los que desea generalizar en lugar de usar números específicos. También se pueden usar cuando conoce los valores en parte de la ecuación, pero otros son desconocidos y necesita resolverlos.

Las ecuaciones algebraicas se resuelven calculando qué números representan las letras.

Podemos convertir las dos ecuaciones simples anteriores en ecuaciones algebraicas sustituyendo (x ) por uno de los números:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Sabemos que 2 + 2 = 4, lo que significa que (x ) debe ser igual a 4. Por lo tanto, la solución de la ecuación es ( boldsymbol {x} ) = 4 .

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5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )

Sabemos que 5 + 3 = 8. La ecuación nos dice que 8 es mayor que (>) 3 + (x ).

Necesitamos que reorganizar la ecuación de modo que (x ) esté en un lado y todos los números estén en el otro; de lo contrario, no podemos encontrar el valor de (x ). La regla de reorganizar ecuaciones es lo que le haces a un lado, también debes hacer al otro . Hay más sobre esto a continuación.

Quite 3 de ambos lados (8 - 3 = 5), entonces la ecuación se convierte en

5> ( boldsymbol {x} )

Podemos ver que (x ) debe ser menor que 5 ( (x)<5 ).

No podemos decir con mayor precisión qué es (x ) con la información que se nos da. Sin embargo, en la ecuación inicial que usamos como nuestro ejemplo, sustituimos 4 por (x ), que de hecho es menor que 5.

No hay magia en usar una 'x' rizada ( ({x} )). Puedes usar cualquier letra que quieras, aunque ({x}) y ({y}) se utilizan comúnmente para representar los elementos desconocidos de las ecuaciones.

Variables y constantes


Una letra que se usa para sustituir un número en álgebra se llama variable , porque representa números diferentes cada vez que lo usa.

Esto es diferente de una letra en particular que siempre se usa para sustituir el mismo número, como ( pi ) (pi) que siempre es 3.142. Tal carta se llama constante .

En una ecuación algebraica, cualquier número dado también es constante, porque siempre permanece igual.

Si se le pide que resuelva una ecuación que involucra una constante, siempre se le dirá su valor.

un índice de masa corporal de 40 representa

Términos de una ecuación

Un término es una parte de la ecuación que está separada de otras partes, generalmente por un símbolo de suma (+) o resta (& menos;).

Un grupo de términos se denomina expresión, más bien como una oración o descripción matemática. Algunas expresiones matemáticas pueden parecer bastante aterradoras, llenas de números y letras, algunas de las cuales incluso pueden ser griegas. Sin embargo, la clave es analizar cada término por separado y dividirlo en cosas que sepa o que pueda resolver. Si hace esto, comenzará a comprender que no siempre es tan difícil como pensaba al principio.

Los términos pueden ser solo números, o pueden ser solo letras, o pueden ser una combinación de letras y números, como 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) o 4 ( boldsymbol {x} )2.

En un término que incluye letras y números, el número se conoce como coeficiente , y la letra es la variable . El coeficiente es simplemente un 'multiplicador': te dice cuántos de algo (la variable) tienes en ese término.

Se dice que los términos que tienen exactamente la misma variable son términos similares , y puedes sumarlos, restarlos, multiplicarlos o dividirlos como si fueran números simples. Por ejemplo:

La ecuación 2 (x ) + 3 (x ) es igual a 5 (x ), simplemente 2 lotes de (x ) más 3 lotes de (x ) para hacer 5 lotes de ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

no puedo sumar o restar 'términos distintos'. Sin embargo, puede multiplicarlos combinando variables y multiplicando los coeficientes.

Entonces, por ejemplo, 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (porque 6 (xy ) simplemente significa 6 veces (x ) veces (y )).

Puede dividir términos diferentes convirtiéndolos en fracciones y cancelándolos. Comience con los números, luego las letras.

Así por ejemplo:

( grande {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2y $$
Dividir la parte superior
y fondo
por 3
Dividir la parte superior
y fondo
por x
El 1 puede ser
ignorado porque
cualquier cosa dividida
por 1 es él mismo

Reorganizar y resolver ecuaciones

En muchos casos, para resolver una ecuación probablemente necesitará reorganizar eso. Esto significa que necesita mover los términos para que termine con solo términos que involucren (x ) en un lado del símbolo de igualdad (como =,> o<) and all the numbers on the other.

Este proceso a veces se llama aislar (x ) .

Puede reorganizar las ecuaciones mediante un conjunto de reglas simples:

  1. Hagas lo que hagas a un lado de la ecuación, deber haz lo mismo con el otro. De esa forma preservas la relación entre ellos. No importa lo que hagas, ya sea quitar 2, sumar 57, multiplicar por 150 o dividir por (x ). Siempre que lo hagas en ambos lados, la ecuación sigue siendo correcta. Puede ser útil pensar en la ecuación como un conjunto de escalas o un balancín, que siempre debe equilibrarse.

  2. Nuestra pagina en Adición explica que no importa en qué orden agregue, la respuesta sigue siendo la misma. Esto significa que puede reorganizar la expresión para poner el términos similares juntos y facilitar la suma. Esto aplica a Sustracción también, siempre que recuerde de nuestra página en Números positivos y negativos que restando es lo mismo que sumar un número negativo . Entonces, por ejemplo, 10 & minus; 3 = 10 + (-3).

  3. Las ecuaciones funcionan de acuerdo con BODMAS también, así que recuerde hacer el cálculo en el orden correcto.

    ¿Qué significa el símbolo en matemáticas?
  4. Siempre obtenga su ecuación en la forma más simple posible: multiplique los corchetes, divida, cancele las fracciones y sume / reste todos los términos semejantes.

Ejemplos resueltos:

Intente resolver estas ecuaciones para (x ), haga clic en los cuadros para revelar el funcionamiento y las respuestas.

$$ large {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Como con cualquier cálculo, primero haz la multiplicación. 5 × 4 = 20
  • Entonces (x ) + 3 = 20
  • El siguiente paso es quitar tres de ambos lados.
  • (x) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Esto te deja con la respuesta: (x ) = 17

$$ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Primero haga el cálculo en el lado derecho, porque no involucra ninguna letra. No hay corchetes, por lo que es la multiplicación primero, luego la suma.
  • 6 × 5 = 30 y 30 + 3 = 33.
  • El cálculo de la izquierda es de suma, por lo que puede mover los términos hasta que tenga todos los números juntos:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    y 5 + 21 = 26.
  • Entonces ahora tienes 26 + (x ) = 33
  • Ahora puedes quitar 26 de ambos lados
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • Y 33 - 26 = 7.

Por lo tanto (x ) = 7

$$ large {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Reorganice para obtener todos los números de un lado, quitando cinco de cada lado.
  • Ahora tu tienes
    (x)2= 13 - 4 - 5, entonces
  • (x)2= 4
  • Ahora necesitas sacar la raíz cuadrada de ambos lados, porque quieres encontrar el valor de (x ) y no (x )2.
  • Sabes que 2 × 2 = 4, lo que significa que la raíz cuadrada de 4 = 2

(x) = 2



Ecuaciones y gráficas

Cualquier ecuación en la que haya una relación entre solo dos variables, (x ) y (y ), se puede dibujar como un gráfico lineal donde (x ) va a lo largo del eje horizontal (a veces llamado eje x ) y (y ) en el eje vertical, (a veces llamado eje y).

Puedes calcular los puntos en tu gráfica resolviendo la ecuación para valores particulares de (x ).

Ejemplos:

(large{y = 2x + 3})
(x) 0 1 2 3 4 5 6
calc 2(0) + 3 2(1) + 3 2(2) + 3 2(3) + 3 2(4) + 3 2(5) + 3 2(6) + 3
(y) 3 5 7 9 11 13 15
Usar una gráfica para calcular el valor de y basado en cualquier valor dado de x.

La ventaja de dibujar una gráfica de una ecuación es que luego puedes usarla para calcular el valor de (y ) para cualquier valor dado de (x ), o de hecho (x ) para cualquier valor dado de (y ), mirando la gráfica.

En este ejemplo, ¿cuál es el valor de (x ) cuando (y ) = 10?

Mueva hacia arriba el eje y hasta llegar a 10, luego horizontalmente hasta llegar a la línea en el gráfico. En ese punto, muévase hacia abajo hasta llegar al eje x. Esto se muestra mediante las líneas rojas en la gráfica y puedes ver que cuando (y ) = 10, (x ) = 3.5.


( large {y = x ^ 2 + x + 4} )

Cuando (x ) = 0, (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
cuando (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
cuando (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
etcétera...

(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(y) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114
Una gráfica en álgebra. Usa el valor de x para encontrar el valor de y.

Extrapolar


Otra ventaja de trazar su ecuación en un gráfico es que puede extrapolar sus datos (información numérica) para calcular valores más grandes de (x ) o (y ). Extrapolar significa que extiendes tu gráfico al continuar la línea que dibujaste a partir de tus datos, para estimar valores de (x ) y (y ) más allá del rango de datos que ya tienes.

En el primer ejemplo, la ecuación produce una línea recta, por lo que extrapolar este gráfico es sencillo. Sin embargo, se debe tener cuidado al extrapolar un gráfico que no es una línea recta, como en el segundo ejemplo.

Parafrasear las palabras y los sentimientos de un hablante se conoce como

En conclusión

Esta página ha explicado cómo resolver ecuaciones simples y la relación entre ecuaciones y gráficas, brindándole una forma alternativa de resolver ecuaciones.

Ahora está listo para pasar a ecuaciones más complejas, incluidas ecuaciones simultáneas y ecuaciones cuadráticas.


Continuar con:
Ecuaciones simultáneas y cuadráticas
Probabilidad una introducción