Formas curvas

Ver también: Polígonos

Círculos, elipses, parábolas e hipérbolas

Nuestra pagina en Polígonos cubre formas hechas con líneas rectas, también conocidas como 'formas planas'. Esta página explica más sobre las formas con curvas, especialmente las bidimensionales.

Las formas curvas bidimensionales incluyen círculos, elipses, parábolas e hipérbolas, así como arcos, sectores y segmentos. Las formas curvas tridimensionales, que incluyen esferas, cilindros y conos, están cubiertas en nuestra página en Formas tridimensionales .

Formas curvas bidimensionales

Propiedades de un círculo. Circunferencia, diámetro y radio.

Círculos

Probablemente la forma curva bidimensional más común es un círculo.



Para trabajar con círculos (y otras formas curvas) en geometría, es importante comprender las propiedades clave de un círculo:

cómo averiguar un porcentaje
  • Una línea recta que cruza el centro de un círculo es la diámetro .

  • La mitad del diámetro es el radio .

  • La línea alrededor del borde de un círculo es la circunferencia .

Cualquier punto de la circunferencia de un círculo está exactamente a la misma distancia del centro del círculo que cualquier otro punto de la circunferencia.

Introduciendo π (pi)


π o pi es una letra griega. En matemáticas, se usa para representar una constante particular, que también es un número irracional o infinito (vea nuestra página en Números especiales para más).

π tiene un valor de 3,142 (aunque como es infinito, es una aproximación de su valor exacto).


π es importante porque se usa para calcular la circunferencia y el área de un círculo.

La circunferencia de un círculo es igual a π x diámetro, o 2 × π × radio (abreviado como 2πr).

El área de un círculo es igual a π × radio2. Esta fórmula generalmente se abrevia como πr2

Para obtener más información sobre el área, consulte nuestra página Área de cálculo .

Sectores y Segmentos

Los sectores y segmentos son 'rebanadas' de un círculo.

Sectores tienen la forma de una rebanada de pizza, con un borde curvo y cada lado recto del mismo largo que el radio del círculo, o pizza, del cual se cortó. Los gráficos circulares se componen de una serie de sectores relacionados en tamaño con los datos que muestran.

Un sector puede ser de cualquier tamaño, sin embargo, un sector que es medio círculo (180 °) se llama un semicírculo , mientras que un sector de un cuarto de círculo (90 °) se llama cuadrante .

A segmento es la parte curva de un sector, la parte que queda si quitas el triángulo de un sector. Los segmentos se componen de dos líneas. los arco (una sección de la circunferencia del círculo - ver más abajo) y una acorde - la línea recta que une los dos extremos del arco.

Sectores de círculo que incluyen semicírculos (semicírculos) y cuadrantes (círculos de cuatro). Segmentos de círculo, cuerda y arco.

Un sector es una fracción de un círculo y, por lo tanto, su área es una fracción del área de todo el círculo. Para calcular el área de un sector necesitas conocer su ángulo central, θ y el radio.

El área de un sector se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

πr2× (θ ÷ 360)

Arcos

Longitud de un arco de círculo. 2πr × (θ ÷ 360)

Una sección de la circunferencia de un círculo se llama arco .

Para calcular la longitud de un arco entre los puntos A y B, necesita conocer el ángulo en el centro entre los puntos A y B. θ (theta) es el símbolo utilizado para representar este ángulo subtendido por A y B. En nuestro ejemplo, estamos usando grados para θ, pero también es posible usar radianes.

cuál es el significado de estos símbolos

También necesita conocer el radio (r) del arco.

Como hay 360 ° en todo el círculo, la longitud del arco es igual al ángulo central (θ) dividido por 360, luego multiplicado por la circunferencia de todo el círculo (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Ejemplo:

r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Longitud del arco = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15.07cm .

¿Grados o radianes?


La unidad de medida más utilizada para los ángulos son los grados, pero también puede encontrar cálculos en los que el ángulo se mide en radianes. Esta es la unidad SI estándar para los ángulos de medición, y para obtener más información sobre radianes, consulte nuestro Introducción a los ángulos página. Para obtener más información sobre el sistema de medición SI, consulte nuestra página en Sistemas de medida .

2π radianes es igual a 360 °, por lo que la fórmula para la longitud del arco cuando θ está en radianes es simplemente rθ.


Elipses

Una elipse es una curva en un plano (o superficie plana) que rodea dos puntos focales. Una línea recta trazada desde un punto focal a cualquier punto de la curva y luego al otro punto focal tiene la misma longitud para cada punto de la curva.

Las elipses son muy importantes en astronomía y física, ya que cada planeta tiene una órbita elíptica con el sol como uno de los puntos focales.

Un círculo es una forma específica de elipse, donde los dos puntos focales están en el mismo lugar (en el centro del círculo). Las elipses también pueden describirse como 'ovaladas', pero la palabra 'ovalada' es mucho menos precisa en matemáticas y simplemente significa 'en forma de huevo en general'.

Propiedades de una elipse. El diagrama incluye ejes mayor y menor con vértices y puntos focla.

Propiedades de una elipse:

Una elipse tiene dos ejes principales y es simétrica alrededor de ellos.

El eje más largo se llama eje mayor ; el eje más corto es el eje menor .

Los cuatro puntos donde los ejes cruzan la circunferencia se denominan vértices (vértice singular). Los dos puntos donde el eje menor cruza la circunferencia se denominan co-vértices .

Los dos puntos focales (o focos, a veces llamados locus o loci) se encuentran en el eje mayor y a distancias iguales del centro.

La distancia desde un punto focal a cualquier punto de la circunferencia, y de regreso al otro punto focal (la línea punteada azul en nuestro diagrama) es la misma que la longitud entre los vértices en el eje mayor.

El grado en que se alarga una elipse se define por su excentricidad . La fórmula para calcular la excentricidad es:

Excentricidad = distancia del centro al punto focal
distancia del centro al vértice en el eje mayor

La excentricidad de un círculo es cero, porque los puntos focales están exactamente en el mismo lugar (el centro) (también decimos que están coincidente ). Por tanto, la distancia desde el centro hasta el punto focal es cero. La excentricidad aumenta a medida que la elipse se alarga, pero siempre es menor que 1. Cuando la distancia del centro al punto focal es la misma que la distancia del centro al vértice, la elipse se convierte en una línea recta y su excentricidad es igual a 1.

El área de una elipse se calcula como π (½ x eje menor) (½ x eje mayor).


Parábolas, hipérbolas y la relación entre formas curvas

Las parábolas e hipérbolas son más formas de formas curvas, pero son más complicadas de definir que los círculos y elipses. Están estrechamente relacionados entre sí y con círculos y elipses, porque todos son secciones cónicas , es decir, formas que se forman cortando un cono con un plano plano.

Las características de las secciones cónicas se han estudiado durante milenios y fueron un tema de interés para los antiguos matemáticos griegos como Euclides y Arquímedes. El siguiente diagrama muestra un cono doble, parecido a un reloj de arena.

  • Si el plano corta el cono en un ángulo paralelo a la base del cono (es decir, perpendicular a su eje vertical), entonces un circulo se forma (arriba a la izquierda).

  • Si el avión corta el cono paralelo al lado del cono , Entonces un antena parabólica se forma (centro).

  • Si el avión corta el cono en un ángulo entre estos dos, de modo que mantiene contacto con los lados del cono en todas las ubicaciones, entonces un elipse se forma (abajo a la izquierda).

    ¿Cómo se encuentra el volumen de un sólido regular?
  • Si el plano atraviesa ambos conos en un ángulo más vertical, entonces la sección es una hipérbola .

Las parábolas y las hipérbolas son curvas simétricas con un solo eje de simetría y una vértice (punto más bajo de la forma de U de la curva).

Todas las parábolas tienen la misma forma característica, por muy grandes que sean. A medida que se aleja más y más desde el vértice hacia el infinito, la parábola cambia de una forma de cuenco a una forma de horquilla, con sus brazos cada vez más cerca de paralelos.

A diferencia de las parábolas, las hipérbolas pueden tener diferentes formas , porque el ángulo de corte puede variar mucho. Tanto las parábolas como las hipérbolas son infinitas, pero los brazos de una hipérbola nunca se vuelven paralelos.

Secciones cónicas. Cómo se puede cortar un cono para producir un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola.

Aplicaciones de las secciones cónicas en el mundo real


Hay muchas aplicaciones de las secciones cónicas en el mundo real.

  • Se utilizan en lentes para telescopios y los reflectores en faros o focos para crear un haz de luz.
  • Las complejas matemáticas asociadas con estas formas son vitales en el cálculo de las órbitas de los satélites.
  • En ingeniería, los cables en el puente Golden Gate tienen la forma de parábolas perfectas, y los perfiles aerodinámicos de los aviones se basan en elipses.
  • En los deportes, el arco seguido de una pelota de fútbol, ​​béisbol o cricket también es una parábola, por lo que comprender las secciones cónicas es vital para analizar el rendimiento del jugador, cada vez más importante con el dinero invertido en deportes profesionales.
  • La forma orgánica de estas formas también las presta a usos en las artes y la arquitectura. Los ejemplos incluyen el Cybertecture Egg en Mumbai, el Gateway Arch en Missouri y el trabajo de numerosos artistas escultóricos, como Torqued Ellipses de Richard Serra en el museo Guggenheim.

Habilidades que necesita?

Los círculos son parte de la geometría básica y realmente necesitas saber cómo calcular sus propiedades básicas.

Sin embargo, es probable que sea poco probable que necesite hacer algo más que ser consciente de la existencia de las otras formas, a menos que desee dedicarse seriamente a la ingeniería, la física o la astronomía.

Dicho esto, es posible que aprecie saber que las curvas cóncavas de una torre de enfriamiento de una central eléctrica, o la luz de una lámpara halógena que apunta hacia abajo, tienen la forma de una hipérbola.

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