Introducción a los sistemas de coordenadas cartesianos

Ver también: Gráficos y tablas

Ya sea que esté presentando datos en un gráfico de líneas, trazando una ruta en bote a lo largo de la costa o simplemente encontrando la ubicación de un estacionamiento en un mapa de un Parque Nacional, necesitará comprender las coordenadas de los puntos.

Un punto es un única ubicación en cualquier lugar. Podría ser en línea recta (una dimensión), en una superficie bidimensional o plano (por ejemplo, un punto en una hoja de papel) o en un espacio tridimensional (como la posición de un avión en vuelo en un momento dado).



El punto en sí es adimensional (es decir, no tiene dimensiones ni tamaño medible). Su posición es lo importante. Cada punto en el que puedas pensar, cada átomo en el espacio, tiene su propio lugar único ocupado solo por él mismo. Este lugar puede cambiar con el tiempo (el avión vuela de A a B), pero en cualquier momento tiene una ubicación única. Cada punto tiene una dirección, llamada su coordenadas , que describe su ubicación en relación con otra conocido localización.



En un plano bidimensional, un punto puede describirse mediante un par de coordenadas , Dentro de un sistema coordinado , como (x, y). En un espacio tridimensional, un punto puede describirse mediante tres coordenadas, p. Ej. (x, y, z). Los sistemas de coordenadas más comunes que probablemente encontrará son Sistemas de coordenadas cartesianas . Se utilizan cuando el plano, la superficie o el espacio se pueden describir en dimensiones planas o rectangulares (como una caja o una cuadrícula cuadrada).

Sin embargo, donde hay curvo líneas, superficies y espacios involucrados, es necesario utilizar un sistema derivado de formas circulares. Para obtener más información sobre esto, consulte nuestra página en sistemas de coordenadas polares, esféricas o cilíndricas .



Coordenadas cartesianas bidimensionales

Un sistema de coordenadas cartesianas en un plano bidimensional está definido por dos ejes perpendiculares.

En otras palabras, dos líneas dibujadas en ángulo recto entre sí en una superficie plana (por ejemplo, una hoja de papel plana, un panel de vidrio delgado o la superficie de un campo de fútbol) proporcionan una cuadrícula de referencia para cada punto de esa superficie. Es posible que también vea este tipo de sistema denominado rectangular o ortogonal sistema de coordenadas, porque los ejes de referencia son perpendiculares.

cuál de estos no es una estrategia para la escucha activa

Un sistema de coordenadas cartesiano típico está definido por los ejes xey. Cada eje tiene una unidad de longitud o distancia (como metros o millas). Cualquier punto dentro del sistema de coordenadas se describe mediante una distancia relativa a los ejes xey, (x, y). Los ejes se cruzan en el punto donde el valor tanto de x como de y es cero; se llama el origen (0,0) .



A continuación se muestra un ejemplo que muestra las coordenadas de cinco puntos diferentes dentro de un sistema cartesiano bidimensional con los ejes etiquetados convencionalmente como x (horizontal) e y (vertical). Cada uno de los cinco puntos está definido por dos números, el primero de los cuales es su distancia perpendicular al eje y (su valor x) y el segundo es su distancia perpendicular al eje x (su valor y). Tenga en cuenta que el dirección desde el origen también es importante, ya que esto determinará si los valores de xey son positivos o negativos.

Ejemplos de coordenadas cartesianas

Cuando se encuentra con un diagrama como el anterior, por ejemplo, un mapa o quizás una colección de datos, es probable que deba hacer una de dos cosas:

  • Cualquiera tiene un punto en un gráfico y necesita determinar sus coordenadas;
  • O tienes las coordenadas y necesitas calcular la ubicación del punto.

Determinando las coordenadas de un punto

Para determinar las coordenadas de un punto, considere Punto A en el diagrama (marcado en rojo en el cuadrante xey positivo, o cuadrante 1). Primero, mida qué tan lejos está a lo largo del eje x desde el origen, es decir, su distancia perpendicular desde el eje y. Esto proporciona su coordenada x, que tiene un valor de 2. Luego, mida qué tan lejos está el punto a lo largo del eje y, en una dirección perpendicular desde el eje x. Esto le da su coordenada y, que tiene un valor de 3.

Las coordenadas de Punto A son por tanto (2,3).

Encontrar la ubicación de un punto a partir de sus coordenadas

En el segundo caso, es posible que le den las coordenadas (−5,5, −1,5) y necesite encontrar la posición de ese punto en el gráfico o mapa. En este caso, primero viaja a lo largo del eje x negativo hasta alcanzar el valor −5,5. Luego, desde esa posición, muévase en una dirección perpendicular -1.5 unidades, es decir, 1.5 unidades paralelas al eje y negativo, y marque su punto. Alternativamente, puede dibujar una línea vertical en x = −5.5 y una línea horizontal en y = −1.5.

Donde las dos líneas se cruzan es el punto (−5.5, −1.5), que se muestra en el diagrama como Punto B , en el cuadrante 3.

¡Advertencia! ¡La secuencia es significativa!


Al leer o escribir coordenadas, es muy importante que siempre están en el orden x, y. Si observa el cuadrante 1 del diagrama, puede ver que Punto A (2,3) está en una ubicación completamente diferente al punto (3,2).

Ejes coordinados: una convención importante

Los sistemas de coordenadas cartesianas a menudo tienen ejes etiquetados como xey, pero no siempre es así. Sin embargo, es importante distinguir claramente uno del otro, ya que el punto (x, y) no es lo mismo que el punto (y, x).

En el uso común, el eje horizontal (x) se llama el abscisa y el eje vertical (y) se llama ordenada . La abscisa y la ordenada son la primera y la segunda coordenada de cualquier punto en el sistema de coordenadas, independientemente de si los ejes están etiquetados como xey o cualquier otra cosa.

Si le resulta complicado recordar cuál de los ejes es el A bscissa o O rdinate, recuerda que en el alfabeto, x viene antes que y y A viene antes que O . También puedes imaginarte yendo A ¡Largo por el pasillo y luego por las escaleras!



Coordenadas cartesianas tridimensionales

En un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, la posición del punto en el espacio debe describirse mediante tres coordenadas, normalmente (x, y, z). En un sistema bidimensional, el punto está en algún lugar de un plano. Sin embargo, un plano tiene solo una longitud y una anchura, mientras que un espacio tridimensional también debe tener una altura o una profundidad. En este caso, puede imaginar que el punto está en algún lugar dentro de una caja rectangular.

Las dos primeras coordenadas, xey, se determinan de la misma forma que en un sistema bidimensional. Estos describen la posición del punto si se proyectara hacia abajo (o hacia arriba) en ángulo recto sobre el plano x-y. Para que esto sea más fácil de visualizar, imagina sosteniendo una pelota en tu mano, con el brazo extendido a la altura de los hombros. La pelota es tu punto. Si deja caer la pelota, rebota en el suelo, inmediatamente debajo de la posición de su mano. Si el suelo es el plano x-y, el punto en el que la pelota rebota es la coordenada (x, y) del punto.

El sistema tridimensional también tiene un eje z, que se encuentra perpendicular al plano x-y. La posición sobre el suelo en la que sostenías la pelota es su coordenada z. El origen de un sistema cartesiano tridimensional es el punto en el que x, y y z son todos iguales a cero (0,0,0).

En términos matemáticos, un punto PAG en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional típico se muestra en el siguiente diagrama. PAG es equivalente a la pelota en nuestro ejemplo.

Coordenadas cartesianas tridimensionales

Es poco probable que necesite utilizar sistemas de coordenadas cartesianas 3D en la vida cotidiana a menos que esté involucrado en ingeniería, física, arquitectura u otras aplicaciones de diseño asistido por computadora. Sin embargo, es útil comprender cómo funcionan. Muchos paquetes de diseño y dibujo 3D que se utilizan en casa se basan en estos principios, por lo que un conocimiento básico de la geometría espacial suele ser valioso para utilizarlos con éxito.


Aplicaciones de coordenadas cartesianas

Uso de coordenadas cartesianas al crear gráficos de ecuaciones algebraicas

En matemáticas, habrá ocasiones en las que sea necesario trazar un gráfico a partir de una ecuación algebraica, para comprender e interpretar completamente sus características. Una ecuación en la forma (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) como una función de (x )), se puede dibujar en coordenadas cartesianas. Para cada valor de (x ), puede determinar el valor de (y ) a partir de la ecuación y, por lo tanto, se puede trazar cada punto en la gráfica ( (x ), (y )).

El siguiente diagrama ilustra la curva característica de la ecuación cuadrática

$$y = x^2 + 9x + 20$$

un número negativo multiplicado por un número positivo es igual a
Gráfica de la ecuación y = x ^ 2 + 9x + 20
Para obtener más información, consulte nuestras páginas en Gráficos y tablas y Ecuaciones cuadráticas .

Aplicar coordenadas cartesianas a las habilidades de lectura de mapas

Imagina que un amigo dice

“Nos reuniremos en el estacionamiento de la B4437 y luego caminaremos hasta el lugar de picnic para almorzar. Podemos conducir hasta el pub más tarde. Es el que está junto a la carretera; si llegas a la iglesia, has ido demasiado lejos '.

Mapa simple que muestra las coordenadas del norte y del este para demostrar las coordenadas.

La ilustración de arriba muestra un mapa simplista del área.

En estos días, puede encontrar su camino a prácticamente cualquier lugar, gracias a la navegación por satélite y las aplicaciones móviles como Google Maps. Sin embargo, sigue siendo muy útil tener habilidades de lectura de mapas. Es posible que se encuentre en una situación en la que no haya señal móvil o la batería esté descargada.

Cada tipo de mapa tendrá un llave , que es una lista de todos los símbolos utilizados en el mapa y lo que significan, y una cuadrícula numerada, que es exclusiva de esa área. The Ordnance Survey en el Reino Unido es uno de los productores de mapas más conocidos del mundo. Cualquier ubicación mapeada por el sistema operativo tiene un único referencia de cuadrícula , que es su coordenadas . Independientemente de si se trata de un molino de viento en Norfolk o de un punto de triangulación en una montaña escocesa, puede encontrarlo en un mapa si tiene su referencia de cuadrícula.

cuando usar una letra mayúscula

Las coordenadas de un mapa son referencias de cuadrícula de cuatro o seis cifras. El eje x cartesiano se reemplaza por pascua y el eje y por Northings . Las coordenadas de un punto se encuentran de la misma manera que en un sistema cartesiano: a lo largo del pasillo y subiendo las escaleras !

A referencia de cuadrícula de cuatro cifras da el cuadrado en el mapa que contiene la ubicación. Las coordenadas son el punto en la esquina inferior izquierda del cuadrado. Por ejemplo, su aparcamiento se encuentra en 1947 y el pub en 2145.

Pero, ¿qué pasa si necesitamos una descripción mucho más precisa de la ubicación? En el ejemplo, necesitaría saber la ubicación exacta del sitio de picnic, ya que está a cierta distancia del estacionamiento y la carretera. En este caso, necesita una referencia de cuadrícula de seis cifras.

A referencia de cuadrícula de seis cifras se obtiene imaginando que cada cuadrado de la cuadrícula se divide en diez subdivisiones, como unidades en una hoja de papel cuadriculado. La referencia de cuadrícula de cuatro cifras para el sitio de picnic es 2048, pero al agregar el número de décimas a 20 y 48, podemos encontrar una descripción más precisa de la ubicación.

Si observa primero el este, puede ver que el lugar del picnic está a menos de la mitad entre 20 y 21, lo que puede estimar que es aproximadamente 20,4, o cuatro décimas a lo largo de 20. Los primeros tres dígitos de su referencia de cuadrícula son, por lo tanto, escrito 203. Mirando los lados del norte, puede ver que la ubicación es aproximadamente un tercio del camino entre 48 y 49, por lo que los segundos tres dígitos son 483. Por lo tanto, el sitio de picnic está en 203483.

Intente encontrar la referencia de cuadrícula para la iglesia.

La respuesta es 218447.


Conclusión

La propiedad más importante de un punto en una superficie o en el espacio 3D es su posición exacta. Esto se puede medir utilizando un sistema de coordenadas, como el sistema cartesiano.

Comprender cómo funcionan los sistemas de coordenadas lo ayudará matemáticamente al dibujar gráficos y también podría evitar que se pierda si tiene un mapa con usted.


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